sg

Mathematics

No. 2 (2025): FarDU.Ilmiy xabarlar jurnali (Aniq fanlar)

THE DIRICHLET PROBLEM FOR A MIXED-TYPE EQUATION WITH TWO VARIABLE BOUNDARY CONDITIONS IN A RECTANGLE

Submitted
April 10, 2025
Published
2025-04-25

Abstract

The first boundary value problem for an elliptic-hyperbolic type equation with two internal perpendicular type change lines has been studied in a rectangular domain. The existence and uniqueness of the solution to the problem have been proven. The uniqueness of the solution was established using the completeness of the system of eigenfunctions in the corresponding space. The solution to the problem was constructed in the form of a series, leading to the issue of small denominators. It was shown that the denominator is nonzero.

References

  1. Гималтдинова А. А. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями перехода в прямоугольной области / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАНИ. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 120–121.
  2. Сабитов К. Б., Биккулова Г. Г., Гималтдинова А. А. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Уфа: Гилем, 2006. 150 с.
  3. Rassias J. M. The Exterior Tricomi and Frankl Problems for Quaterelliptic-Quaterhyper- bolic Equations with Eight Parabolic Lines // Eur. J. Pure Appl. Math., 2011. vol. 4, no. 2. pp. 186–208, http://www.ejpam.com/index.php/ejpam/article/view/1175/195.
  4. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 711 с.
  5. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1958. Т. 122, № 2. С. 167–170.
  6. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР, 1957. Т. 112, № 3. С. 386–389.
  7. Cannon J. R. A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient // Annali di Matematica, 1963. vol. 61, no. 1. pp. 371–377. doi: 10.1007/ bf02410656.
  8. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Диффер. уравн., 1970. Т. 6, № 1. С. 190–191.
  9. Хачев М. М. О задаче Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Диффер. уравн., 1976. Т. 12, № 1. С. 137–143.
  10. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева–Бицадзе. I: Теоремы единственности // Докл. РАН, 1993. Т. 332, № 6. С. 696–698.
  11. смешанного типа // Диффер.
  12. уравн., 1976. Т. 12, № 1. С. 137–143.
  13. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева–Бицадзе. II: Теоремы существования // Докл. РАН, 1993. Т. 333, № 1. С. 16–18.
  14. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23–26.
  15. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Диффер. уравн., 2013. Т. 49, № 1. С. 68–78.
  16. Ильин В. А. Единственность и принадлежность W12 классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения //Матем. заметки, 1975. Т. 17, № 1. С. 91–101.
  17. Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя // Изв. АНСССР. Сер. матем., 1961. Т. 25, № 1. С. 21–86; Арнольд В. И. Исправления к работе
  18. В. Арнольда “Малые знаменатели. I” // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964. Т. 28, № 2.С. 479–480.
  19. Ломов И. С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений // Диффер. уравн., 1993. Т. 29, № 12. С. 2079–2089.
  20. Akhmadjon K Urinov, Kamoliddin T Karimov “The Dirichlet problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients”. // Journal of Samara State Technical University,Ser.Physical and Mathematical Sciences 21 (4), 665-683, 2017.
  21. AK Urinov , KT Karimov, “ The Third Boundary Problem for a Mixed-Type Equation with Three Singular Coefficients”. // Lobachevskii Journal of Mathematics 44(8), 3582-3593,2023.