THE CAUCHY PROBLEM FOR THE LOADED KORTEWEG-DE VRIES EQUATION WITH A SOURCE IN THE CLASS OF PERIODIC INFINITE-GAP FUNCTIONS
Article Sidebar
Main Article Content
Abstract
In this paper, the inverse spectral problem method is used to integrate the loaded Korteweg-de Vries (KdV) equation with a source in the class of periodic infinite-gap functions. We introduce the evolution of the spectral data of the Hill operator whose coefficient is a solution of the loaded KdV equation with a source. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin's differential equations is proved. It is shown that the sum of a uniformly convergent functional series constructed by solving the system of Dubrovin's equations and the first trace formula indeed satisfies the loaded KdV equation with a source.
Article Details
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
References
Gardner C., Green I., Kruskal M., Miura R. A method for solving the Korteveg-de Vries equation. // Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p.1095-1098.
Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера.// Тр. МИ АН СССР, 73(1964), с. 314-336.
Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев «Наукова думка», 1977.
Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.
Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.// Comm. Pure and Appl. Math., 1968. v.21. p.467-490.
Me’lnikov V.K. Integration method of the Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source. Physics Letters A, 133, 9, 493-496 (1988).
Mel’nikov V.K. Integration of the Korteweg-de Vries equation with source. Inverse problems 6, 2, 233-246 (1990).
Claude C., Leon J. Latifi A. Nonlinear resonant scattering and plasma instability: an integrable model. J. Math. Phys, 32,3321-3330 (1991).
Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: «Мир». 1983.
Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. Москва «Мир». 1983.
Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П., Теория солитонов: метод обратной задачи, М.: Наука, 1980.
Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: «Мир». 1987.
Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов, М., Наука,
Додд Р., Эйилбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: «Мир». 1988.
Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. М.: Ижевс. 2008.
Zeng Y., Ma W.X., Lin R. Integration of the solution hierarchy with self-consistent source. J.Math.Phys., 41:8(2000), 5453-5489.
Hasanov A.B., Hoitmetov U.A. On integration of the loaded Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions. Proceeding of the institute of Math. And Mechan. National academy of sciences of Azerbaijan, vol., 7, № 2, 2021, p. 250-261.
Итс. А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза.//ТМФ,23:1(1975), с.51-68.
Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза.//ЖЭТФ,67:12(1974), 2131-2143.
Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г., Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты, Киев, Наукова думка, 1987.
Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. //Функц. анализ и его прил. – Москва, 1975. т. 9. вып. 3. с. 41-51.
Matveev V.B. 30 years of finite-gap integration theory. //Phil. Trans. R Soc. A (2008), 366, p. 837-875.
Ince E.L. Ordinary differential equations. (New York: Dover. 1956)
Нахушеев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.
Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи. Ж. Вычисл. матем. и матем. Физ. 44, 694-716 (2004).
Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.I-II. –М.: «ИЛ», 1961.
Станкевич И.В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла. ДАН СССР, 192 (1), 34-37 (1970).
Ахиезер Н.И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов. ДАН СССР, 141(2), 262-266(1961).
Trubowtz E. The inverse problem for periodic potentials. Comm. Pure. Appl. Math., -New York, 30, 321-337. (1977).
Hochstadt H. On the determination of Hill’s equation from its spectrum. Arch. Rat. Mech. Anal. -Springer, 19, 353-362 (1965).
Mckean H.P., Moerbeke P. The spectrum of Hill’s equation. Invent. Math., 30(3), 217-274(1975).
Flachka H. On the inverse problem for Hill’s operator. Arch. Rational Mech. Anal., 59 (4), 293-309 (1975).
Hochstadt H. Estimates on the stability interval’s for the Hill’s equation. Proc. AMS, 14, 930-932 (1963).
Левитан Б.М., Гусейнов Г.Ш. Вычисление главного члена асимптотики длины лакуны периодической задачи Штурма-Лиувилля. Сердика Българско математическо списание. т 3, № 4. С. 273-280 (1977).
www.math.bas.bg/serdica/1977/1977-273-280.pdf.
Hochstadt H. A Generalization of Borg‘s inverse theorem for Hill’s equations. J. Math. Anal. and Appl. –Elsevier, 102, 599-605 (1984).
Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgable. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwete Acta Math.-Berlin, 78, 1-96 (1946).
Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций.// Записки научных семинаров ПОМИ, т. 506, 2021, с. 258-279.